14. Juni 2018

Das Ziegenproblem

Wie gut können wir Situationen einschätzen? Ist heute ein Glückstag, oder verfolgt einen diesmal das Pech? Können wir unseren Instinkten in Zufallsexperimenten immer vertrauen?

 

In der letzten Stunde hat die Mathematik uns gezeigt, dass wir uns bei Zufallsexperimenten nicht auf unseren Instinkt verlassen können. Die Teilnehmer*innen wurden dazu in die Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeführt und mit der Pfad- und Zweigregel vertraut gemacht. Die Teilnehmer*innen, die letzte Stunde nicht da waren, dürfen sich mit den Zufallsexperimenten - das Glücksrad, Lose ziehen und Würfelspiel - anfreunden und ihr Glück ausprobieren. 

 
In dieser Stunde beschäftigen wir uns mit dem weltbekannten Ziegenproblem. Das Ziegenproblem, auch bekann als das Monty-Hall-Problem, (benannt nach dem Moderator einer US-amerikanischen Spielshow "Let's make a deal"), beschäftigt sich mit der Fragestellung, ob man eine bereits getroffene Entscheidung nach zusätzlicher Information ändern sollte. Zur Veranschaulichung, stelle man sich drei Türen vor, hinter denen sich ein Hauptgewinn und zwei Ziegen, die Nieten symbolisieren, versteckt sind. Nun trifft der Spieler eine Entscheidung und legt fest, auf welche Türe er setzt. Anschließend wird eine Ziege aufgedeckt und der Spieler darf sich nun entscheiden, ob er weiterhin auf seine erste Tür setzt, oder auf die andere noch zugedeckte Tür wechselt. Wir wollen nun diese spannende Fragestellung spielerisch an die Teilnehmer*innen heran führen und erörtern. 


Statt Türen nehmen wir drei Plastikbecher, statt dem Hauptgewinn eine Kugel und unsere Ziegen sind einfach leere Becher. Der erste Teilnehmer bleibt in drei Spielen bei der ersten Enscheidung und ist verblüfft, dass er jedesmal verliert. Eine weitere Teilnehmerin hat bei drei Spielen mit Wechsel zweimal gewonnen.
Wie kann das sein? Die meisten Spieler denken, dass die Gewinnchance bei zwei Bechern auf 50% liegen sollte. Also sollte es demnach egal sein, ob man wechselt oder nicht. Doch das ist falsch!




Bevor wir das auflösen, dürfen auch die Teilnehmer*innen das Spiel moderieren, um die andere Seite kennen zu lernen. Dabei haben sie großen Spaß und erkennen schon ein Muster.
Die anschauliche Erklärung liefert eine Fallunterscheidung. Auf dem Blatt sind beide Varianten ausgeführt - ein mal mit Wechsel und ein mal ohne. Was wir nun raus lesen können ist, dass die Wahrscheinlichkeit, den Hauptgewinn abzuräumen im Fall eines Wechsels größer ist.
Dieses Problem kann man auf n-Becher ausweiten, um dann (n-2)-Becher aufzudecken. Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei der ersten Wahl richtig liegt, ist dann 1 zu n, was bei einer großen Anzahl von Bechern verschwindend klein wird. Der Wechsel auf den übrig gebliebenen Becher bringt eine höhere Gewinnchance.



Nach der netten Einführung und Lösung des Ziegenproblems legen die Teilnehmer*innen los mit den Arbeitsblättern. Diesmal gibt es mehrstufige Zufallsexperimente, mit und ohne Zurücklegen. Die Betreuer*innen geben sich Mühe, mit Baumdiagrammen die unterschiedlichen Fälle zu besprechen. Das Baumdiagramm kommt gut bei den Teilnehmer*innen an und wird super umgesetzt. Auch diesmal macht die Sprachbarriere den Teilnehmer*innen die Aufgabenstellung der Textaufgaben nicht einfach. Mit vielen Bildern und anschaulischen Skizzen ist es ihnen doch möglich sie zu lösen. Die nicht fertig gerechneten Aufgaben nehmen die Teilnehmer*innen auch diesmal gerne mit, um Zuhause weiter zu rechen. Wir sind sehr froh über die Motivation und haben auch diesmal sehr viel Spaß zusammen gehabt. 

Das nächste Mal wartet ein neues Thema darauf eingeführt zu werden. Wir freuen uns schon auf nächsten Donnerstag!         

7. Juni 2018

Wahrscheinlichkeiten

Mathematik und Zufallsexperimente 

Nach den zweiwöchigen Pfingstferien beginnen wir unseren Mathekurs mit drei Zufallsexperimenten. Dabei handelt es sich um Glücksspiele, die mit tollen Gewinnen motiviert werden. Die Teilnehmer*innen dürfen sich für eines der drei Glücksspiele entscheiden, um dann ihr Glück auf die Probe zu stellen. Ist es reiner Zufall, ob man gewinnt oder verliert? Kann uns die Mathematik eventuell ein gutes Werkzeug sein, um die Gewinnchancen von Zufallsexperimenten hervorzusagen?

Heute beschäftigen wir uns mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie stellt den Zusammenhang zwischen der Mathematik und Zufallsexperimenten dar. Sie sagt voraus, wie wahrscheinlich es ist, dass ein noch nicht eingetroffenes Ereignis stattfindet. Können wir damit also in die Zukunft sehen? 
Die Entscheidung für das "bessere Glücksspiel" fällt den Teilnehmer*innen schwer, sodass Sie sich auf ihr Bauchgefühl verlassen. 




Die erste Teilnehmerin entscheidet sich für das Glücksrad. Es ist in vier gleich große Felder aufgeteilt, wovon zwei Felder gelb und zwei blau gefärbt sind. Man dreht den dazugehörigen Kreisel und wartet ab, wo er liegen bleibt. Falls der Kreisel auf einer der zwei blauen Felder liegt, gewinnt der Spieler und falls nicht, verliert er. Der nächste Teilnehmer entscheidet sich für Lose ziehen. Es befinden sich insgesamt 18 Lose im Beutel, wovon 12 Gewinne und 6 Nieten sind. Alle anderen Teilnehmer*innen entscheiden sich ebenfalls für eins dieser beiden Glücksspiele. Das dritte Glücksspiel ist für keinen Teilnehmer*in attraktiv, da es ihnen am riskantesten vorkommt. Es handelt sich um ein Würfelspiel, das sie gegen einen Betreuer*in spielen. Würfelt man eine Zahl, die größer ist als die des Betreuers, gewinnt man. 

Wir führen die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein und lassen die Teilnehmer*innen mathematisch beweisen, welches Zufallsexperiment die besten Gewinnchancen mitbringt. Mit dem Glücksrad und den Losen lagen sie tatsächlich vom Bauchgefühl her mit den Gewinnchancen auf der sichereren Seite. 

Um das eingeführte Thema auf verschiedene Situationen anzuwenden, behandeln wir anschließend Textaufgaben. Die große Schwierigkeit ist zunächst den Textinhalt zu verstehen. Außerdem haben wir das Grundwissen zu Bruchrechen aufgefrischt. Mit anschaulichen Erklärungen können die Teilnehme*innen die Aufgaben gut berechnen. 
Die spielerische Herangehensweise an die Mathematik der Wahrscheinlichkeiten fruchtet auch dieses Mal. Die Teilnehmer*innen haben großen Spaß und sind motiviert ihr Wissen anzuwenden. 
Es macht sehr viel Spaß neue Themen an alle heranzubringen und gemeinsam durchzuarbeiten. Vielen Dank an unsere motivierten Teilnehmer*innen und Betreuer*innen. Wir freuen uns schon auf das nächste Mal!