Schattenspiel und Strahlensatz

Heute ist ein besonderer Tag: wir haben Besuch von Veronika Melchior. Die engagierte Mitarbeiterin vom Campus TV studiert Koreanistik und Medienwissenschaft in Tübingen. Sie führt nebem dem zentralen Thema "Service Learning" an der Universität, eine Social Media Campagne durch. Dabei ist sie auf unseren Blog gestoßen und findet unser Projekt sehr interessant. Heute möchte sie mitmachen und über unser Projekt berichten. 

Was haben Piraten und Förster gemeinsam?  Sie beide benutzen die Strahlensätze zur Bestimmung von Entfernungen. Der Pirat verwendet als Hilfsmittel sein Fernrohr und der Förster sein Försterdreieck. Die Strahlensätze befassen sich mit Streckenverhältnissen und ermöglichen unbekannte Streckenlängen zu berechnen. 

Heute werden die Teilnehmer*innen mit Hilfe der Schatten zweier Gegenstände, ein Buch und einen Kleber, deren Größe bestimmen. Dazu wird der Raum verdunkelt und eine Taschenlampe positioniert. Wichtig ist nun, dass beide Schatten der Gegenstände aufeinander fallen, um eine Beziehung zur Lichtquelle sicher zu stellen. Die Teilnehmer messen nun mit einem Meterstab die verschiedenen Strecken und bilden die Streckenverhältnisse mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes. 
Dieser besagt, dass sich die Abschnitte auf den Parallelen so verhalten, wie die vom Scheitel aus gemessenen Strecken, auf jeweils derselben Geraden. 



Gemeinsam zeichnen wir eine Skizze an die Tafel und markieren die gegeben Strecken farbig. Die unbekannsten Strecken werden durch Variablen gekennzeichnet. Durch geschicktes Umstellen der Verhältnisse sollen die Teilnehmer*innen nun zu dem Ergebnis gelangen.
Die erste Hürde ist es, von der abstrakten Formel, die Streckenabschnitte beschreibt, zu unserem Streckenproblem zu schließen. 

Da alle Teilnehmer*innen davor noch keinerlei Vorkenntnisse haben, ist die Anwendung noch nicht trivial. Schritt für Schritt arbeiten wir uns vor und setzten die bekannten Größen ein. Nach einigen Anläufen gelingt es den Teilnehmer*innen nach dem unbekannten Streckenabschnitt aufzulösen. Wir überprüfen noch mathematisch, ob die Gleichung stimmt. Zur experimentellen Kontrolle dürfen die Teilnehmer*innen die beiden Gegenstände abmessen und sind verblüfft, wie genau das Verfahren ist. 

Anschließend möchten wir das neue Thema durch Übungsaufgaben verfestigen. Wie immer ist unser Motto "Übung macht den Meister". Dazu haben wir Aufgaben mit insgesamt drei Schwierigkeitsgraden vorbereitet. Diese werden nach der Reihe durchgearbeitet. Die Teilnehmer*innen dürfen hierfür ihren Taschenrechner auf dem Handy benutzen. 


Auch heute haben viel dazu gelernt und hatten großen Spaß zusammen! Das nächste Mal erwartet uns die historische Anwendung des Strahlensatzes und ihre praktische Umsetzung.  
Wir freuen uns auf Euch!

Lügen Statistiken?

Thema diese Woche bei unserem Matheangebot für Flüchtlinge waren Statistiken, besonders die Frage ob diese lügen.
Durforscht man aktuell Zeitungen, Blogs oder Forenbeiträge so stößt man nucht nur auf FakeNews, obskure Bilder oder vorschnell geschlossene Meinungen sondern oft auch eine (vermeintlich) statistische Begründung derselben. Manipulationen ergeben sich hierbei nicht nur durch das Erfinden von Daten und Zahlen, sondern auch oftmals durch eine spezielle Darstellung dieser in Diagrammen. So findet man beispielsweise verschobene Achsen, ausgelassene Abschnitte, unklare Grundmengen oder unvergleichbare Vergleiche. Speziell in einer so emotional geführten Debatte wie der über Flucht und Migration, die unsere Teilnehmer*innen natürlich besonders betrifft, sind Manipulationen dieser Art einschlagende Mittel von Meinungsmacher*innen.
Das kritische Lesen von Diagrammen erschien uns deshalb als zu erlernende Kompetenz und als spannenden Schnittpunkt von Politik und Mathematik. Neben einem Memory, bei dem man verschiedener Diagramme mit gleichem Darstellungsgegenstand auffinden muss, und einem Arbeitsblatt zum eigenem Veranschaulichen von (und Manipulieren mit) Statistiken hatten wir aber auch viel Spaß mit den beeindruckend hohen Korrelationen willkürlicher Themen die man bspw hier findet.
Schade ist allerdings, dass wir gerade nur mit sehr wenigen Teilnehmer*innen arbeiten. Eine herzliche Einladung also hier nochmal an alle, ein hoher Betreuungsschlüssel ist euch versprochen.

Eine herzliche Einladung aber auch zu einer anderen Veranstaltung: Am Freitag den 6.7 um 17.10 Uhr stellen wir unser Konzept im Rahmen der Studierendenkonferenz in der alten Physik, Raum 8, vor. Wir freuen uns über Interessierte.

Von Daten und Diagrammen

Dieses Mal haben wir wieder gewürfelt, allerdings nicht zum Thema Wahrscheinlichkeit, sondern, um "Daten" zu generieren. Wir trugen schnell die Ergebnisse von 100 Würfelwürfen zusammen und überlegten uns, wie wir diese Ergebnisse veranschaulichen können. Dazu hatten wir eine Exceldatei vorbereitet, die die Ergebnisse auf unterschiedliche Weisen darstellt: Kreis-, Balken-, Linien- und Säulendiagramm.Wir saßen im Halbkreis um den Bildschirm herum und konnten so die verschiedenen Varianten durchsprechen: Sind alle Darstellungen sinnvoll? Was sieht man sofort, was nicht? Was ist die Aussage der jeweiligen Diagramme für unser Würfeln?

Die Teilnehmer*innen waren interessiert an der sofortigen Umsetzung und zeigten, dass sie mit dem Lesen von Diagrammen schon vertraut waren.
Anhand einer mitgebrachten, aktuellen Zeitungsausgabe wurde noch einmal der "Alltagsbezug" hergestellt: überall werden Daten mithilfe von Diagrammen visualisiert.
Wir prüften dann eigenständig, ob die Prozentangaben mit dem Anteil an der Torte bzw am Balken übereinstimmten. Die Teilnehmer*innen wirkten dabei sehr engagiert.

Im Grunde war diese Stunde also eine Auffrischung und Erweiterung der Vorkenntnisse in diesem Bereich. Interessant war es dann, Kreisdiagramme selbst zu erstellen, denn hier musste auf "geometrisches" Wissen (Winkelmessen) und auf den Dreisatz zurückgegriffen werden. Daran werden wir das nächste Mal anknüpfen.

Das Ziegenproblem

Wie gut können wir Situationen einschätzen? Ist heute ein Glückstag, oder verfolgt einen diesmal das Pech? Können wir unseren Instinkten in Zufallsexperimenten immer vertrauen?

 

In der letzten Stunde hat die Mathematik uns gezeigt, dass wir uns bei Zufallsexperimenten nicht auf unseren Instinkt verlassen können. Die Teilnehmer*innen wurden dazu in die Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeführt und mit der Pfad- und Zweigregel vertraut gemacht. Die Teilnehmer*innen, die letzte Stunde nicht da waren, dürfen sich mit den Zufallsexperimenten - das Glücksrad, Lose ziehen und Würfelspiel - anfreunden und ihr Glück ausprobieren. 

 
In dieser Stunde beschäftigen wir uns mit dem weltbekannten Ziegenproblem. Das Ziegenproblem, auch bekann als das Monty-Hall-Problem, (benannt nach dem Moderator einer US-amerikanischen Spielshow "Let's make a deal"), beschäftigt sich mit der Fragestellung, ob man eine bereits getroffene Entscheidung nach zusätzlicher Information ändern sollte. Zur Veranschaulichung, stelle man sich drei Türen vor, hinter denen sich ein Hauptgewinn und zwei Ziegen, die Nieten symbolisieren, versteckt sind. Nun trifft der Spieler eine Entscheidung und legt fest, auf welche Türe er setzt. Anschließend wird eine Ziege aufgedeckt und der Spieler darf sich nun entscheiden, ob er weiterhin auf seine erste Tür setzt, oder auf die andere noch zugedeckte Tür wechselt. Wir wollen nun diese spannende Fragestellung spielerisch an die Teilnehmer*innen heran führen und erörtern. 


Statt Türen nehmen wir drei Plastikbecher, statt dem Hauptgewinn eine Kugel und unsere Ziegen sind einfach leere Becher. Der erste Teilnehmer bleibt in drei Spielen bei der ersten Enscheidung und ist verblüfft, dass er jedesmal verliert. Eine weitere Teilnehmerin hat bei drei Spielen mit Wechsel zweimal gewonnen.
Wie kann das sein? Die meisten Spieler denken, dass die Gewinnchance bei zwei Bechern auf 50% liegen sollte. Also sollte es demnach egal sein, ob man wechselt oder nicht. Doch das ist falsch!



Bevor wir das auflösen, dürfen auch die Teilnehmer*innen das Spiel moderieren, um die andere Seite kennen zu lernen. Dabei haben sie großen Spaß und erkennen schon ein Muster.
Die anschauliche Erklärung liefert eine Fallunterscheidung. Auf dem Blatt sind beide Varianten ausgeführt - ein mal mit Wechsel und ein mal ohne. Was wir nun raus lesen können ist, dass die Wahrscheinlichkeit, den Hauptgewinn abzuräumen im Fall eines Wechsels größer ist.
Dieses Problem kann man auf n-Becher ausweiten, um dann (n-2)-Becher aufzudecken. Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei der ersten Wahl richtig liegt, ist dann 1 zu n, was bei einer großen Anzahl von Bechern verschwindend klein wird. Der Wechsel auf den übrig gebliebenen Becher bringt eine höhere Gewinnchance.


Nach der netten Einführung und Lösung des Ziegenproblems legen die Teilnehmer*innen los mit den Arbeitsblättern. Diesmal gibt es mehrstufige Zufallsexperimente, mit und ohne Zurücklegen. Die Betreuer*innen geben sich Mühe, mit Baumdiagrammen die unterschiedlichen Fälle zu besprechen. Das Baumdiagramm kommt gut bei den Teilnehmer*innen an und wird super umgesetzt. Auch diesmal macht die Sprachbarriere den Teilnehmer*innen die Aufgabenstellung der Textaufgaben nicht einfach. Mit vielen Bildern und anschaulischen Skizzen ist es ihnen doch möglich sie zu lösen. Die nicht fertig gerechneten Aufgaben nehmen die Teilnehmer*innen auch diesmal gerne mit, um Zuhause weiter zu rechen. Wir sind sehr froh über die Motivation und haben auch diesmal sehr viel Spaß zusammen gehabt. 

Das nächste Mal wartet ein neues Thema darauf eingeführt zu werden. Wir freuen uns schon auf nächsten Donnerstag!         

Wahrscheinlichkeiten

Mathematik und Zufallsexperimente 

Nach den zweiwöchigen Pfingstferien beginnen wir unseren Mathekurs mit drei Zufallsexperimenten. Dabei handelt es sich um Glücksspiele, die mit tollen Gewinnen motiviert werden. Die Teilnehmer*innen dürfen sich für eines der drei Glücksspiele entscheiden, um dann ihr Glück auf die Probe zu stellen. Ist es reiner Zufall, ob man gewinnt oder verliert? Kann uns die Mathematik eventuell ein gutes Werkzeug sein, um die Gewinnchancen von Zufallsexperimenten hervorzusagen?

Heute beschäftigen wir uns mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie stellt den Zusammenhang zwischen der Mathematik und Zufallsexperimenten dar. Sie sagt voraus, wie wahrscheinlich es ist, dass ein noch nicht eingetroffenes Ereignis stattfindet. Können wir damit also in die Zukunft sehen? 

Die Entscheidung für das "bessere Glücksspiel" fällt den Teilnehmer*innen schwer, sodass Sie sich auf ihr Bauchgefühl verlassen. 

Die erste Teilnehmerin entscheidet sich für das Glücksrad. Es ist in vier gleich große Felder aufgeteilt, wovon zwei Felder gelb und zwei blau gefärbt sind. Man dreht den dazugehörigen Kreisel und wartet ab, wo er liegen bleibt. Falls der Kreisel auf einer der zwei blauen Felder liegt, gewinnt der Spieler und falls nicht, verliert er. Der nächste Teilnehmer entscheidet sich für Lose ziehen. Es befinden sich insgesamt 18 Lose im Beutel, wovon 12 Gewinne und 6 Nieten sind. Alle anderen Teilnehmer*innen entscheiden sich ebenfalls für eins dieser beiden Glücksspiele. Das dritte Glücksspiel ist für keinen Teilnehmer*in attraktiv, da es ihnen am riskantesten vorkommt. Es handelt sich um ein Würfelspiel, das sie gegen einen Betreuer*in spielen. Würfelt man eine Zahl, die größer ist als die des Betreuers, gewinnt man. 

Wir führen die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein und lassen die Teilnehmer*innen mathematisch beweisen, welches Zufallsexperiment die besten Gewinnchancen mitbringt. Mit dem Glücksrad und den Losen lagen sie tatsächlich vom Bauchgefühl her mit den Gewinnchancen auf der sichereren Seite. 

Um das eingeführte Thema auf verschiedene Situationen anzuwenden, behandeln wir anschließend Textaufgaben. Die große Schwierigkeit ist zunächst den Textinhalt zu verstehen. Außerdem haben wir das Grundwissen zu Bruchrechen aufgefrischt. Mit anschaulichen Erklärungen können die Teilnehme*innen die Aufgaben gut berechnen. 

Die spielerische Herangehensweise an die Mathematik der Wahrscheinlichkeiten fruchtet auch dieses Mal. Die Teilnehmer*innen haben großen Spaß und sind motiviert ihr Wissen anzuwenden. 

Es macht sehr viel Spaß neue Themen an alle heranzubringen und gemeinsam durchzuarbeiten. Vielen Dank an unsere motivierten Teilnehmer*innen und Betreuer*innen. Wir freuen uns schon auf das nächste Mal!